[기계학습 4강] Logistic Regression with Gradient Ascent

※이 내용들은 edwith(KAIST Open Online Course)의 인공지능 및 기계학습 개론 1 Chap. 4강 내용을 기반으로 재구성하였음을 먼저 밝힙니다.※

 

 

 

Finding $\theta$ with Gradient Ascent

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우리는 이전에 Logistic Regression에서 

 

$\hat{\theta} = argmax_{\theta} \prod_{1 \leq i \leq N} P(Y_i | X_i ; \theta)$

 

와 같이 \theta$를 얻기 위하여 아래와 같이 

 

$ f(\theta) = \sum_{1 \leq i \leq N} log( P(Y_i | X_i ; \theta))$

$ \frac{\partial f(\theta)}{\partial \theta_j} = \frac{\partial}{\partial \theta_j} \left \{ \sum_{1 \leq i \leq N} log(P(Y_i | X_i ; \theta)) \right \} = \sum_{1 \leq i \leq N} X_{i, j} (Y_i - P(y=1 | x; \theta))$

 

미분의 과정까지 거쳐보았다. 여기서 $\theta$가 open form solution이었기 때문에 이를 최적화하기 위해서는 approximate한 값을 구해야했다. 그러기 위해서 우리는 Gradient Ascent방법을 적용(argmax이기 때문)할 수 있다. 이를 적용해보면

 

$x_{t+1} \leftarrow x_t + hu^* = x_t + h \frac{f'(x_t)}{|f'(x_t)|}$

 

임을 고려하여 

 

$\theta_{j}^{t+1} \leftarrow \theta_{j}^{t} + h \frac{\partial f(\theta^t)}{\partial \theta_{j}^t} = \theta_{j}^{t} + h \left \{ \sum_{1 \leq i \leq N} X_{i, j} (Y_i - P(Y = 1 | X_i ; \theta^t)) \right \}$

$= \theta_{j}^{t+1} + \frac{h}{C} \left \{ \sum_{1 \leq i \leq N} X_{i, j} ( Y_i - \frac{e^{X_i \theta^t}}{1 + e^{X_i \theta^t}}) \right \}$

($\theta_{j}^{0}$는 임의로 선택될 수 있음, $C$는 유닛벡터를 만들기 위해 Normalize해주는 값)

 

과 같이 된다.

 

 

 

이제 우리가 구했던 Linear Regression을 다시 살펴보자.

Linear Regression Revisited

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이전에 우리는 

 

$\theta = argmin_{\theta}(f - \hat{f})^{2}$

$= argmin_{\theta} (Y - X \theta)^{2}$

$= argmin_{\theta} (Y - X \theta)^{t}$

$= argmin_{\theta} (Y^{t} - \theta^{t}X^{t})(Y - X \theta)$

$= argmin_{\theta} Y^{t}Y - Y^{t} X \theta - \theta^{t} X^{t} Y + \theta^{T} X^{T} X \theta$

$= argmin_{\theta} (\theta^{t} X^{t} X \theta - 2 \theta^{t} X^{t} Y + Y^{t}Y)$, $\because Y^{t}X\theta = (X\theta)^{t}Y = \theta^{t} X^{t}Y$ 

$= argmin_{\theta} (\theta^{t} X^{t} X \theta - 2 \theta^{t} X^{t} Y)$, $\theta$입장에서는 $Y^{t} Y$는 상수이기 때문

 

여기서 최적의 $\theta$는 

 

$\nabla_{\theta} (\theta^{t}X^{t}X\theta - 2\theta^{t}X^{t}Y) = 0$

$2X^{t}X\theta - 2X^{t}Y = 0$

$\theta = (X^{t}X)^{-1} X{t}Y$

 

 

임을 살펴본 바가 있다.

 

 

Linear Regression에서는 closed form solution으로 더 이상 문제가 될 것이 없어보이나 X를 이루는 데이터가 커지면 문제가 될 수 있다. 왜냐하면 역행렬을 구하는 과정에서의 계산량이 매우 많이 들기 때문이다. 따라서 gradient descent 방법으로 이를 해결할 수 있는데 적용해보면

 

$\theta = argmin_{\theta}(f - \hat{f})^{2} = argmin_{\theta} (Y - X \theta)^{2}$

 

$\frac{\partial}{\partial \theta_k} \sum_{1 \leq i \leq N} (Y^i - \sum_{1 \leq j \leq d X_{j}^{i} \theta_j})^2 = -\sum_{1 \leq i \leq N} 2(Y^i - \sum_{1 \leq j \leq d} X_{j}^{i} \theta_j) X_{k}^{i}$

$\theta_{k}^{t+1} \leftarrow \theta_{k}^{t} - h \frac{\partial f(\theta^t)}{\partial \theta_{k}^{t}} = \theta_{k}^{t} +\sum_{1 \leq i \leq N} 2(Y^i - \sum_{1 \leq j \leq d} X_{j}^{i} \theta_{j}) X_{k}^{i}$

 

과 같이 될 수 있음을 알 수 있다.

 

 

 

-히비스서커스-