[기초확률론 7] 기댓값과 분산

기초확률론 일곱번째 포스팅으로 기댓값과 분산에 대해 알아보겠습니다.

 

 

저번 시간에는 확률변수와 확률분포함수에 대해 알아보았습니다.

2021.02.12 - [Statistics/Probability_Theory] - [기초확률론 6] 확률변수와 확률분포함수

[기초확률론 6] 확률변수와 확률분포함수

 

이번에 살펴볼 내용은 확률변수의 기댓값($E(X)$)과 분산($Var(x)$)에 관한 내용입니다. 앞서 살펴보았듯이 확률변수는 이산형 확률변수와 연속형 확률변수가 존재하였습니다. 이 둘의 기댓값을 구하는 방법은 다릅니다.

 

 

 

기댓값

 

정의

 

먼저, 이산형 확률변수 $X$ 가 확률분포함수(=확률질량함수, PMF; Probability Mass Function) $f(x)$를 가지는 경우 다음과 같이 나타냅니다.

$$ \mu = E(X) \equiv \sum_{x \in \mathbb{R}} xf(x) $$

즉, X의 기댓값은 X가 택할 수 있는 가능한 값($x \in \mathbb{R}$)에 각각 그 값을 택할 확률($f(x)$)이 곱해진 가중평균입니다.

 

 

다음은 연속형 확률변수 $X$가 확률분포함수(=확률밀도함수, PDF; Probability Density Function) $f(x)$를 가지는 경우 다음과 같이 나타냅니다.

$$ \mu = E(X) \equiv \int_{- \infty}^{\infty} xf(x) dx $$

즉, X의 기댒값은 X가 택할 수 있는 가능한 값($x \in \mathbb{R}$)에 각각 그 값을 택할 확률($f(x)$)이 곱을 적분해준 것입니다.

 

성질

 

여기서 기댓값은 놀라운 성질을 가지고 있는데요, 바로 위 식에 $x$뿐 아니라 $x$의 함수 $g(x)$가 들어가도 $g(x)$에 대한 기댓값을 구할 수 있다는 것입니다.

 

이산형 확률분포일 경우
$$ E[g(X)] = \sum_{x \in \mathbb{R}} g(x)f(x) $$

 

연속형 확률분포일 경우
$$ E[g(x)] = \int_{- \infty}^{\infty} g(x)f(x) dx $$

 

특별한 경우

또한, $g(x) = x^{k}, k = 1, 2, 3, ...$와 같이 $x$의 제곱의 형태일 때 이 $g(x) = x^{k}$를 $x$의 $k$차 적률이라 합니다.

 

이산형 확률분포일 경우
$$ E(X^{k}) = \sum_{x \in \mathbb{R}} x^{k}f(x) $$

 

연속형 확률분포일 경우

$$ E(X^{k}) = \int_{-\infty}^{\infty} x^{k}f(x) dx $$

분산

지금까지 기댓값이 가지는 의미에 대해서 살펴보았습니다. 기댓값($E(X)$)은 확률변수 $X$의 가능한 값들의 가중평균을 산출해주었습니다. 하지만, 이 값들에 대한 퍼짐의 정도에 대해서는 정보를 담고 있지 않습니다. 예를 들어보겠습니다.

 

확률변수 $ Y = 0 $, 이때의 확률은 1이고
확률변수 $ Z = -1, 1 $, 이때의 확률은 각각 $\frac{1}{2}$이라고 해봅시다.

 

두 확률변수의 기댓값은 0으로 갖지만 두 확률변수의 분포는 다르고 이들의 퍼짐의 정도도 다릅니다. 그렇다면 어떻게 이들의 퍼짐정도를 나타낼 수 있을까요? 바로 확률변수$X$와 확률변수$X$의 기댓값$E(X)$의 차이의 제곱에 대한 기댓값을 해주어 나타낼 수 있습니다. 이것이 바로 분산입니다.

 

정의

$E(X) = \mu$라 할 때,

 

이산형 확률분포일 경우
$$ \sigma^{2} = Var(X) \equiv E[(X - \mu)^{2}]  = \sum_{x \in \mathbb{R}}(x - \mu)^{2}f(x)$$

 

연속형 확률분포일 경우
$$ \sigma^{2} = Var(X) \equiv E[(X - \mu)^{2}] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^{2} f(x) dx $$

 

입니다.

 

오늘 알아본 기댓값$E(X) = \mu$과 분산$Var(X) = \sigma^{x}$은 확률변수$X$의 분포에 대해서 잘 설명해주는 값들입니다. 다음 시간에는 정규분포에 대해서 알아보겠습니다.

 

 

 

2020.03.19

히비스서커스