[기초확률론 3] 확률측도의 성질, 균등확률결과를 갖는 표본공간

기초확률론 세번째 포스팅으로 확률측도의 성질, 균등확률결과를 갖는 표본공간에 대해 알아보겠습니다. 

 

저번 시간에는 확률측도와 확률, 확률측도의 부여방법에 대해 알아보았습니다.

 

2021/01/15 - [Statistics/Probability_Theory] - [기초확률론 2] 확률측도와 확률, 확률측도의 부여방법

[기초확률론 2] 확률측도와 확률, 확률측도의 부여방법

 

 

확률측도를 부여할 때 이산표본공간일 경우와 연속표본공간일 경우를 달리 해주어야 했는데요. 요약하자면 다음과 같습니다.

이산표본공간의 경우

• 각 원소들의 확률이 존재합니다. 따라서, 사건의 확률은 각 원소의 확률을 합한 것으로 합니다.

연속표본공간의 경우

• 각 원소들의 확률을 메길 수 없기 때문에 적분을 해야 합니다.

이제 확률측도의 성질들을 알아보겠습니다.

 

확률측도의 성질

 

• S는 확률표본, P는 확률측도를 표현하였습니다.

 

1. $P(\pi) = 0 $

=> 이는 모든 E $\subset$ S에 대하여 P(E)가 정의된다는 의미입니다.

 

어떻게 성립하는지 살펴봅시다.

 

1 = P(S) = P(S $ \cup \phi \cup \phi \cup \phi \cup ... $) 으로 나타낼 수 있는데요,
여기서 S $\cap \phi = \phi$ 이기 때문에 S와 $\phi$는 배반이고, $ \phi \cap \phi = \phi $ 이기 때문에 $\phi$와 $\phi$는 배반입니다.
따라서, 위의 식은 P(S) + P($\phi$) + P($\phi$) + P($\phi$) + ... = 1 + P($\phi$) + P($\phi$) + P($\phi$) + ... = 1 이 되고
결론적으로 P($\phi$) = 0이 됩니다.

2. 서로 배반인 사건들 $E_{1}, E_{2}, ... ,E_{n}$ 에 대하여 $ P(\bigcup_{i=1}^{n}E_{i}) = \sum_{i=1}^{n}P(E_{i})$

=> 이는 저번에 살펴본 확률측도의 공리의 3과 유사한데요, 배반인 사건들 $ E_{1}, E_{2}, ... ,E_{n}$의 union($\cup$)의 확률이 각 배반사건의 확률의 합과 같다는 의미입니다.

 

어떻게 성립하는지 살펴봅시다.

 

$ P(\bigcup_{i=1}^{n}E_{i}) = \sum_{i=1}^{n}P(E_{i} \cup \phi \cup \phi \cup \phi \cup ... )$ 으로 나타낼 수 있는데요,
여기서 $E_{i} \cap \phi = \phi$ 이기 때문에 S와 $\phi$는 배반이고, $ \phi \cap \phi = \phi $ 이기 때문에 $\phi$와 $\phi$는 배반입니다.

 

따라서, 위의 식은 P($E_{1}$) + P($E_{2}$) + ... + P($E_{n}$) + P($\phi$) + P($\phi$) + P($\phi$) + ... = $\sum_{i=1}^{n}P(E_{i})$ 이 되어 성립합니다.

3. $ E \subset S 이면 P(E) + P(E^{c}) = 1 $

=> 이는 한 사건의 확률과 그 사건의 여집합 사건의 확률의 합이 1이라는 의미입니다.

 

어떻게 성립하는지 살펴봅시다.

 

먼저 $E \cap E^{c} = \phi$ 이 성립하기 때문에 $E$ 와 $E^{c}$는 서로 배반입니다.
따라서, $ 1 = P(S) = P(E \cup E^{c}) = P(E) + P(E_{c}) $ 이 성립합니다.

4. $E_{1} \subset E_{2} \subset S$ 이면 $P(E_{1}) \leq P(E_{2})$

=> 이는 $E_{1}$이 $E_{2}$의 부분집합이면 $E_{1}$의 확률이 $E_{2}$의 확률보다 작다는 의미입니다.

 

어떻게 성립하는지 살펴봅시다.

 

위의 식은 $ P(E_{2}) = P(E_{1} \cup (E_{1}^{c} \cap E_{2})) $ 으로 나타낼 수 있는데요. 여기서, $E_{1} \cup (E_{1}^{c} \cap E_{2}) = \phi$ 이기 때문에 $E_{1}$과 $E_{1}^{c} \cap E_{2}$은 배반사건입니다. 따라서, 위의 식은 $P(E_{1}) + P(E_{1}^{c} \cap E_{2}) \geq P(E_{1})$ 이 성립합니다.

5. $E_{1}$ & $E_{2} (\subset S) $ 이면 $P(E_{1} \cup E_{2}) = P(E_{1}) + P(E_{2}) - P(E_{1} \cap E_{2})$

=> 이는 $E_{1}$ 과 $E_{2}$의 union($\cup$)의 확률은 $E_{1}$과 $E_{1}$의 각각의 확률의 합에서 $E_{1}$과 $E_{1}$의 intersection($\cap$)를 빼준 값과 같다는 의미입니다.

 

어떻게 성립하는지 살펴봅시다.

 

위의 식은 $ P(E_{1} \cup E_{2}) = P(E_{1} \cup (E_{1}^{c} \cap E_{2})) $을 만족하는데요. 여기서, $E_{1} \cup (E_{1}^{c} \cap E_{2}) = \phi$ 이기 때문에 $E_{1}$과 $E_{1}^{c} \cap E_{2}$은 배반사건입니다.

 

여기서, $P(E_{2})$는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. $P(E_{2}) = P((E_{1} \cap E_{2}) \cup (E_{1}^{c} \cap E_{2})) = P(E_{1} \cap E_{2}) + P(E_{1}^{c} \cap E_{2}) $ 이를 $P(E_{1}^{c} \cap E_{2})$에 대하여 나타내주어 위의 식에 대입하여 주면

 

$P(E_{1} \cup E_{2}) = P(E_{1}) + P(E_{2}) - P(E_{1} \cap E_{2})$을 만족하게 됩니다.

확률측도의 성질까지 알아보았으니 사건이 일어날 확률을 계산할 수 있겠죠? 가장 쉬울 때인 눈이 6개인 주사위를 던지는 사건을 생각해봅시다. 이때 눈이 1부터 6이 나올 확률은 주사위가 정상적이라면 모두 동일할겁니다. 이럴 때 우리는 균등확률결과를 갖는다고 하고 이러한 사건을 균등확률결과를 갖는 표본공간이라고 합니다.

 

균등확률결과를 갖는 표본공간

 

S = {$e_{1}, e_{2}, ... , e{n}$}일 때 P({$e_{i}$}) = $1/N$ 을 만족합니다.

 

이는 P($\phi$) = 0, E $\neq \phi$ 일 때 $P(E) = P(\bigcup_{\omega \in E}{\omega}) = \sum_{\omega \in E}$ P({$\omega$}) 이기 때문입니다.
즉, 균등확률결과를 갖는 표본공간에서 사건이 일어날 확률은 사건의 원소의 개수를 표본공간의 원소의 전체개수로 나눠주면 되는 것입니다.

다음 포스팅에서는 조건부확률에 대해서 알아볼께요~

2021.1.22

히비스서커스