[기초확률론 5] 독립사건

기초확률론 다섯번째 포스팅으로 독립사건에 대해 알아보겠습니다.

 

 

저번 시간에는 조건부확률, 곱셈법칙, 베이즈 정리에 대해 알아보았습니다.

2021.01.29 - [Statistics/Probability_Theory] - [기초확률론 4] 조건부확률, 곱셈법칙, 베이즈 정리

[기초확률론 4] 조건부확률, 곱셈법칙, 베이즈 정리

이번 시간에는 독립사건에 관하여 알아볼텐데요. 두 사건이 독립이다라는 표현은 많이 들어보셨을 것 같습니다. '독립적'이라는 표현처럼 두 사건이 서로 영향을 주지 않을 때 쓰는 표현인데요. 수학적으로 어느 때 두 사건이 독립이라고 하는지 알아봅시다.

두 사건의 독립

두 사건 $ E_{1}, E_{2} $ 가 표본공간 $S$에 속하고 둘 다 전체 집합과 공집합이 아니라고 하자. 두 사건의 교집합의 확률과 각 사건의 확률의 곱이 같을 때 두 사건 $ E_{1}, E_{2} $은 서로 독립이라고 한다.

식으로 표현해보자면 다음과 같습니다.

$$ P(E_{1} \cap E_{2}) = P(E_{1}) \cdot P(E_{2}) $$

예를 들어보도록 하겠습니다.

공정한 주사위를 한 번 던지는 사건이 있습니다. 표본공간은 $S$ = {$e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5}, e_{6}$} 이 되고 $P(e_{i}) = \frac{1}{6}$ , $ 1 \leq i \leq 6 $을 만족하겠죠. 이때, 사건 $E_{1}$은 6의 약수가 나오는 사건, 사건 $E_{2}$는 2의 배수가 나오는 사건이라고 하면, $E_{1}$ = {$e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{6}$}, $E_{2}$ = {$e_{2}, e_{4}, e_{6}$} 입니다. $P(E_{1}) = \frac{2}{3}$, $P(E_{2}) = \frac{1}{2}$ 이고, $P(E_{1}) = \frac{2}{3}$ 이 되겠죠. 여기서, $E_{1} \cap E_{2}$ = {$e_{2}, e_{6}$}이므로 $P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{1}{3}$이 되네요. $ P(E_{1} \cap E_{2}) = P(E_{1}) \cdot P(E_{2}) $을 만족하므로 두 사건 $ E_{1}, E_{2} $ 은 서로 독립입니다!

사건이 2개일 때에는 단순히 '독립'만 존재하지만 사건이 3개일 경우에는 다른 조건들이 존재합니다. 세 사건의 쌍별독립과 (세 사건의 쌍별독립의 특별한 경우인) 세 사건이 각각 독립이 존재하는데요, 순서대로 한 번 보도록 하죠.

세 사건에서 쌍별독립

세 사건이 두 쌍씩 이루어 각각 독립인 경우 세 사건이 쌍별로 독립이라고 한다.

식으로 표현해보자면 다음과 같습니다.

$ E_{1}, E_{2}, E_{3} $ : Pairwisely independent <=> $ E_{1} $& $E_{2} $ indep  , $ E_{2}$ & $E_{3} $ indep  , $ E_{3} $ & $ E_{1} $ indep 

예를 들어보도록 하겠습니다.

이번에는 표본공간 $S$ = {$e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5}, e_{6}, e_{7}, e_{8}$}를 가정해봅시다. 사건 $E_{1}$ = {$e_{1}, e_{2}$}, $E_{2}$ = {$e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5}$}, $E_{3}$ = {$e_{1}, e_{3}, e_{4}, e_{6}$} 이라 한다면, $E_{1} \cap E_{2}$ = {$e_{1}$}, $E_{2} \cap E_{3}$ = {$e_{3}, e_{4}$}, $E_{3} \cap E_{1}$ = {$e_{1}$} 입니다. 여기서, $P(E_{1}) = \frac{1}{4}$, $P(E_{2}) = \frac{1}{2}$, $P(E_{3}) = \frac{1}{2}$ 이고, $P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{1}{8}$, $P(E_{2} \cap E_{3}) = \frac{1}{4}$, $P(E_{3} \cap E_{1}) = \frac{1}{4}$입니다. 이때 세 사건 $ E_{1}, E_{2}, E_{3} $은 독립의 정의에 의하여 쌍별 독립임을 알 수 있습니다.

세 사건이 각각 독립

세 사건이 쌍별 독립이고 세 사건의 교집합의 확률이 각 사건의 확률의 곱과 같을 때 세 사건이 서로 독립이라고 한다.

식으로 표현해보자면 다음과 같습니다.

$ E_{1}, E_{2}, E_{3} $ : indep <=> $ E_{1}, E_{2}, E_{3} $ : Pairwisely independent & $ P(E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3}) = P(E_{1}) \cdot P(E_{2}) \cdot P(E_{3}) $

이번 예는 생략하도록 하겠습니다.

이번 시간에는 짧게 사건의 독립에 관해서 알아보았습니다. 다음 시간에는 너무나 중요한 확률변수에 대해 알아보도록 하겠습니다.

2021.02.05.금

히비스서커스