[기초확률론 2] 확률측도와 확률, 확률측도의 부여방법

기초확률론 두번째 포스팅으로 확률측도와 확률, 확률측도의 부여방법에 대해 알아보겠습니다. 

 

 

저번 시간에는 확률실험과 표본공간, 사건에 대해 알아보았습니다.

 

2021/01/08 - [Statistics/Probability_Theory] - [기초확률론 1] 확률실험, 표본공간, 사건

[기초확률론 1] 확률실험, 표본공간, 사건

확률이 중요하다고 말해놓고 왜 확률을 말하기 전에 위와 같은 내용들(확률실험, 표본공간, 사건)을 언급하냐고 하실 것 같습니다. 하지만 확률을 정의하는 것은 쉬운 일이 아닙니다. 앞의 개념들이 꼭 필요합니다. 더불어 확률론에서 확률을 정의하려면 명백한 *공리를 가정을 해야합니다. 이와 관련하여 확률측도라는 개념도 알아보고 이를 부여하는 방법을 알아볼까요?

*공리: 학문의 시작에서 앞서 정해놓은 약속

확률측도 P() 와 확률 P(E)

확률측도와 확률을 정의하기 위해 다음과 같이 확률이 정의된다고 가정하고 3가지 공리들을 만족한다고 가정해봅시다.

 

가정: 하나의 표본공간 S에서 임의의 사건 E에 대해서 P(E)가 정의된다고 가정한다.

=> 이는 확률측도 P()가 함수라는 의미로 E의 원소들이 P()로 인해 다른 값들로 바뀐다는 의미이며 표본공간 S에 부분집합인 모든 사건 E에 대해서 P(E)를 측정할 수 있다는 의미입니다.

 

공리 1) 임의의 $E (\subset S)$ 에 대해서 $ 0 \leqslant P(E) \leqslant 1 $ 이다.

=> 표본공간에 속하는 모든 사건 E(S도 포함)들이 P()로 인하여 0에서 1사이의 값 하나로 바뀐다는 의미입니다.

 

공리 2) $ S \subset S $ 이므로 P(S)는 정의되고P(S) = 1 이다.

=> 1)에 의하여 S도 확률측도로 측정할 수 있다는 뜻이고 그 값이 1이라는 의미입니다.

 

공리 3) 서로 배반인 사건들 $ E_{1}, E_{2}, ... $에 대해서 $ P(\bigcup_{i=1}^{\infty}E_{i}) = \sum_{i=1}^{\infty}P(E_{i})$ 이다.

=> 배반인 사건들 $ E_{1}, E_{2}, ... $의 union($\cup$)의 확률이 각 배반사건의 확률의 합과 같다는 의미입니다. 당연히 사건의 수는 $\infty$이 아닌 유한 개여도 상관 없습니다.

배반사건이란?

$E_{1}$이 사건이고, $E_{2}$도 사건일 때, $E_{1}$과 $E_{2}$의 intersection($\cap$)이 $\phi$이면 $E_{1}$과 $E_{2}$는 서로 배반입니다.

위의 조건들을 모두 만족하는 P를 확률측도라 합니다.
그리고 여기서 P(E)를 E의 확률이라 합니다.
참고로, 여기서 P(E)는 앞서 언급했듯이 0과 1을 포함한 두 숫자 사이의 값입니다.

확률측도의 부여방법

확률측도를 부여하는 방법이 표본공간의 속성에 따라 다르다?

 

확률과 확률측도를 정의하였으니 이제 어떤 사건에 대해서 확률을 측정할 수 있습니다. 그렇다면 주사위를 한 번 던져 나오는 결과를 관측하는 실험에서 나오는 사건의 확률을 측정하는 것과 1시간 전등이 커져있는 시간을 관측하는 실험에서 나오는 사건의 확률을 측정하는 것을 같은 방법으로 해야할까요? 주사위를 던져 나올 수 있는 눈의 수는 6개로 유한개입니다. 즉, 표본공간이 유한개입니다. 하지만, 전등은 아예 안 켜지는 것부터 1시간 내내 켜질 수도 있습니다. 즉, 표본공간이 무한개입니다. 둘의 경우는 확률측도를 다르게 부여해야합니다.

 

첫번째 이산표본공간의 경우 (표본공간의 수가 유한개인 경우)

 

임의의 $\omega \in S$에서 0<P({$\omega$})$\leq$1이고 P($\bigcup_{\omega \in S}^{}${$\omega$}) = 1 이면서 임의의 사건 E에 대해서 $\bigcup_{\omega \in E}$P({$\omega$}) = $\sum_{\omega \in E}^{}$P({$\omega$})을 만족하게 부여합니다.

 

=> 표본공간의 정의에 따라 P({$\omega$})는 0보다는 커야합니다. 또한, 표본공간의 원소가 1개 일 경우 P({$\omega$})=1 일 수 있습니다.

 

예시) 동전을 던져 나온 면을 확인하는 실험 - 앞면:{H}, 뒷면:{T}을 살펴보면
P({H})=$P_{1}$, P({T})=$P_{2}$ , P(S) = P({H}$\cup${T}) = P({H}) + P({T}) = $P_{1} + P_{2}$ = 1

두번째 연속표본공간의 경우 (표본공간의 수가 무한개인 경우, $S \subset \mathbb{R}$)

 

위와 같은 조건을 만족하도록 함수(확률측도), P()를 설정할 수 없습니다. (무한대에서 하나를 뽑는 확률은 구할 수 없겠죠?)

그래서 임의의 사건 E에 대해서 P(E) = $\int_{E}^{}f(x)dx$ 이고 P(S) = $\int_{S}^{}f(x)dx$ = 1을 만족하게 부여해야 합니다.

 

=> 연속표본공간인 경우에 사건 E도 연속된 구간입니다. 우리가 시간을 고려할 때 시간의 구간을 고려하지 한 순간만을 고려하지 않음을 생각해보면 좋을 것입니다.

다음 시간에는 확률측도의 성질에 대해서 알아보겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

2021.01.15

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