[기초확률론 1] 확률실험, 표본공간, 사건

기초확률론 첫번째 포스팅으로 확률실험, 표본공간, 사건에 대해 알아보겠습니다. 

 

이미지 출처 : http://www.brightpips.com/wp-content/uploads/2014/05/study-probability-with-two-dice-and-a-spreadsheet.jpg

확률에 대해서 배워야 하는 이유는 뭘까?

 

우리나라 사람들의 평균 키를 알고 싶다고 해봅시다. 정확하게 조사하려면 우리나라 사람들 전체의 키를 조사한 후 평균을 내야할 것입니다.

하지만, 이는 현실적으로 매우 어려운 일입니다. 좋은 방법이 있다면, 몇 명을 뽑아 그들의 키를 평균한 값으로 추측하는 것이 좋은 방법일 것입니다. 그렇다면 어떤 방법으로 몇 명을 뽑아낼 수 있을까요? 여기서 확률의 개념이 들어갑니다. 자세한 내용은 표본설계에 관한 내용이므로 생략하겠습니다.

확률실험

 

먼저 확률을 측정할 수 있는 확률실험을 정의하려면 다음과 같은 3가지 전제가 필요합니다. (주사위를 1번 던져 나오는 눈의 수를 확인하는 실험을 확률실험의 예로 들겠습니다.)

- 확률을 나중에 측정해야 하므로 실험의 결과를 알 수 있어야 한다. (주사위 눈의 결과가 1,2,3,4,5,6 중 하나가 나올 것이다.)

- 하지만 측정하기 전까지는 그 결과를 알 수 없다. (주사위를 던지기 전까지 알 수 없다.)

- 그리고 동일한 조건에서 반복이 가능해야 한다. (주사위가 변형되지 않는 한 반복하여 던질 수 있다.)

 

정리하자면 실험에 모든 결과를 알 수 있으나 실제 실험을 하기 전에는 결과를 알 수 없고 동일한 조건에서 반복할 수 있는 실험을 확률실험이라 할 수 있습니다.

표본공간, S = {}

 

또한, 확률실험이 일어났을 때 나올 수 있는 결과들의 집합을 표본공간이라 합니다. (주사위를 던져 나올 수있는 1, 2, 3, 4, 5, 6)

 

집합의 개념을 자세하게 설명하면 다음과 같습니다.

- 객관적인 (= 누가 판단하여도 동일한 결과를 낳는) 조건을 만족하는 대상들의 모임 (ex. 키가 180cm 이상인 사람들의 모임)

 

집합을 나타내는 방법은 원소나열법과 조건나열법이 존재합니다. 주사위를 두 번 던져 나오는 결과의 집합을 나타내보면 다음과 같습니다.

- 원소나열법: $$ S = \left \{ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4),(1,5),(1,6), (2,1), ... , (6,6) \right \} $$

- 조건나열법: $$ S = \left \{ (i,j) | 1\leq i\leq 6, 1\leq j \leq 6 \right \} $$

집합에서 원소란 객관적인 조건을 만족하는 대상 하나하나를 말하는 것이며

부분집합이란 전체 집합의 일부분의 집합을 말하는 것입니다.

집합의 기본연산은 다음과 같습니다.

합집합: (읽는 방법 : A union B) $$ A \cup B $$

차집합: (읽는 방법 : A intersection B) $$ A \cap B $$

여집합: (읽는 방법: A complement) $$ A^{c} $$

 

* 드모르간의 법칙

두 사건 E와 F의 union의 complement는 각 사건 E와 F의 complement의 intersection이다.

$$(E \cup F)^{c} = E^{c} \cap F^{c}$$

* $\subset$ 와 $\in$

표본공간 S의 부분집합을 A, A의 원소를 a라 한다면

$$A \subset S$$

$$a \in A$$

사건

사건(E)은 표본공간(S)의 부분집합을 말합니다. $E \subset S$

 

 

사건 A가 일어난다.

<=> 사건 A 중에서 원소 하나가 나온다.

 

EX) 주사위를 한 번 던졌을 때 3의 배수가 나오는 사건을 A라 하면 A = {3, 6}이고

주사위를 한 번 던졌을 때 3이 나오면, 사건 A가 일어났다고 하는 것입니다.

 

 

 

 

2021.01.08 

- 히비스서커스 -